Бернулијева једначина

Струјна цев променљивог попречног
пресека, кроз коју протиче флуид.

Бернулијева једначина је једна од основних математичких дефиниција, у делу физике, која се зове динамика флуида. Описује Бернулијев принцип, односно дефинише међусобну везу између притиска (потенцијалне енергије флуида) и његове брзине (његове кинетичке енергије), у струјној цеви (струјном пољу). Бернулијев принцип је добио име по данско-швајцарском научнику Данијелу Бернулију, који је описао овај принцип у својој књизи Hidrodinamica 1738. године. Бернулијева једначина служи управо за описивање овог принципа и математичку везу између параметара струјања флуида.

Постоји више облика Бернулијеве једначине које описују разне врсте протока флуида. Најједноставнији облик Бернулијеве једначине се односи на случај када се густина флуида може узети као непроменљива (код течности и код занемаривања стишљивости гаса на малим брзинама), када се флуид сматра да је нестишљив. Постоји и једначина за проток флуида када се густина не може узети као константна, то је код стишљивог флуида (при већим брзинама струјања). Код већих брзина гасова, када се мора узимати у обзир њихова стишљивост, тада се уводи у једначину појам Маховог броја, као еквивалента брзине. Бернулијева једначина се додатно усложњава ако се ради о вискозном струјању.

Бернулијев принцип се може извести из закона о одржању енергије. Наиме, из овог закона следи да у униформном току флуида сума свих облика механичких енергија, у укупном струјном току, мора бити једнака у свима тачкама тога поља. Другим речима, сума кинетичке и потенцијалне енергије мора бити међусобно једнака у свима тачкама струјног поља.

Честице флуида, под утицајем сопствене тежине и притиска, крећу се између тачака са различитим статичким притиском, од већег према мањем. Ако се флуид креће хоризонтално, кроз струјну цев, брзина ће се повећавати ако се та разлика статичког притиска повећава између две тачке, односно између два пресека цеви. Брзина флуида се смањује ако се та разлика статичког притиска смањује. Највећа брзина је тамо где је притисак најмањи, а најмања је тамо где је притисак највећи.

Проток нестишљивих флуида


Дејство сила на делић флуида,
у струјном пољу.
 


Посматрајући мали цилиндрични елеменат флуида дужине dl и константног делића површине попречног пресека dA, на слици десно, може се написати израз за његову тежину:

Резултујућа сила на елеменат флуида је:

Тај делић флуида, при своме кретању, има убрзање: 

 Сагласно убрзању, инерцијална сила која делује на делић флуида је:

Применом Даламберовог принципа, једначина кретања делића флуида је:

На основу приказа у горњој слици, тригонометријска зависност је:

Заменом, добија се диференцијална једначина:


 

У већини случајева за течности и гасове, при малим Mаховим бројем (M0,3), може се сматрати да су нестишљив флуид (константна густина), без обзира на промене притиска. У тим условима интеграцијом предходног диференцијалног облика добија се Бернулијева једначина, у облику:

 

 

Где је:
  • – брзина протока у датој тачки тока,
  • – гравитационо убрзање,
  • – висина по z-оси
  • – статички притисак и
  • – густина флуида у свим тачкама флуида. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напомене:


Проток ваздуха у мерној вентури
цеви. Кинетичка енергија се повећава
на рачун пада статичког притиска
флуида,што илуструје разлика 
висина воденог стуба, у U цеви.
  • флуид мора бити нестишљив-упркос промењивом притиску, густина мора остати иста да би једначина важила и
  • овај облик Бернулијеве једначине важи само за случај када су вискозне силе занемарљиве (невискозан флуид).

Ако се горња једначина помножи са густином добија се у облик:

У поједностављеном посматрању када је струјна цев хоризонтална, или када је флуид гас, разлика притиска услед тежине стуба флуида у посматраном малом делићу, је једнак нили или занемарљиво мали. На основу тога је реално усвојити: ρхgхh = 0. Тада Бернулијева једначина добија једноставнији облик: 

Где је:

 – динамички притисак

 

 

 

 

Нестабилан потенцијал протокa

Бернулијева једначина са нестационарним потенцијалом струјања се користи у теоријском разматрању површинских таласа океана и у акустици.

За изазвани проток, брзина протока се може описати као градијент ∇φ од потенцијала брзине φ. У томе случају и за константну густину ρ, импулс из Еулерових једначина може да се интегрише у:

Ова Бернулијева једначина важи и за токове променљиве са временом. Овде ∂φ/∂t означава парцијални извод потенцијала брзине φ у односу на време t, где је v = | ∇φ | брзина протока. Функција f(t) зависи само од времена, а не од позиције у течности. Као резултат тога, Бернулијева једначина у неком тренутку t се не односи само на одређену промену профилације пресека, али у целом домену флуида. Ово такође важи и у посебном случају изазваног стабилног тока, када је функција f(t) константна вредност

Проток стишљивих флуида

Горње једначине важе за нестишљиве флуиде, међутим могуће је, користећи фундаменталне законе физике, доћи до једначина који су сличне њима и примењиве су на стишљиве флуиде. Постоји много облика Бернулијеве једначине и све су оне аналогне основној и ослањају се на фундаменталне законе попут Њутнових закона и првог закона термодинамике. 

Проток стишљивог идеалног гаса

Једна од најчешће коришћених једначина за динамику стишљивих флуида је:

 

 

 

Где је:
  •  – статички притисак,
  •  – густина флуида,
  •  – брзина протока и
  •  – гравитациони потенцијал.

У инжењерским случајевима, разлика у висини је углавном мала у поређењу са величином Земље, а временске величине су довољно мале за размотрање једначине стања флуида као адијабатска. У овим условима, горња једначина постаје: 

 

 

 

Где је:
  •  – Поасонов број је однос  моларног топлотног капацитета при сталном притиску, и  моларног топлотног капацитета при сталној запремини,
  •  – гравитационо убрзање и
  •  – висина по z-оси.

У многим применама стишљивог протока, промене правца су занемарљиве у поређењу са другим условима, тако да члан gz може бити занемарен и изостављен у једначини. Тада се добије веома користан облик једначине: 

 

Где је:
  •  – укупан (зауставни) притисак и
  •  – укупна густина.

Проток стишљивог гаса у термодинамици

Користан облик Бернулијеве једначине, погодан за употребу у термодинамици и за (квази) стабилан ток, је:

 

Где је:

– енталпија по јединици масе, а где је ε термодинамичка енергија по јединици масе, познато као специфична унутрашња енергија.

Константа на десној страни се често назива Бернули константа и означити б. За стационарном инвисцид адијабатској тока без икаквих додатних извора или лавабоа енергије, b је константна дуж било ком стреамлине. Уопштено, када b може да варира дуж поједностављује, ипак доказује користан параметар, у вези са "главе" флуида (види доле).

Када се промене у Ψ могу игнорисати, веома користан облик ове једначине је:

Где је w0 тотална енталпија. За калорично савршен гас, као што је идеални гас, енталпија је директно пропорционална температури, а то доводи до концепта укупне температуре.

Када је ударни талас приказан, у референтном систему у којем „удар“ мирује и проток је стабилан, многи од параметара у Бернулијевој једначини трпе нагле промене, при пролазу кроз „удар“. Међутим, сами Берноулијеви параметри остају непромењени. Изузетак од овог правила су радиоактивни „удари“, који крше претпоставке Бернулијеве једначине, односно недостатак додатних понора или извора енергије.

Неспоразуми око генерисања узгона

Vista-xmag.pngЗа више информација видети чланак Узгон.

Различита објашњења, за генерисање узгона (на аеропрофилу, лопатицама елиса итд), могу се наћи у литератури. Нека од ових објашњења могу да заварају, а нека су лажна. Ово је био повод великим расправама током година. Посебно, било је расправа о томе да ли је узгон најбоље објаснити преко Бернулијеве једначине или Њутнових закона. Савремени извори тврде да принцип оба прилаза, Бернулијеве једначине и Њутнових закона су релевантни и могу се користити за исправан опис генерисања узгона.

Савремени извори тврде да принцип оба прилаза, Бернулијеве једначине и Њутнових закони су релевантни и могу се користити за исправан опис генерисања узгона. Нека од ових објашњења користи Бернули принцип за повезивање кинематике протока и промене притиска. У случајевима нетачних (или делимично тачних) објашњења осланац је на Бернулиевском принципу, грешке се обично јављају у претпоставкама о кинематици протока и како је она произведена. Не доводи се у питање сам Бернулијев принцип, јер је овај принцип добро принципијелно успостављен.

Види још

  • Аеродинамика
  • Динамика флуида
  • Термодинамика

Извори